Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，點（0.5，4）在雙曲線y=$\frac{m}{x}$上．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）如圖，若點A、C分別在矩形ODBE的邊EB、BD上，且OC平分∠AOD，雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）經(jīng)過點A、C，將△ABC沿AC折疊得到△AB′C，點B′恰好落在OA上，
①求證：點C是BD的中點．
②求四邊形OABC的面積．

Answer 1

分析 （1）把點（0.5，4）代入y=$\frac{m}{x}$，求出m的值，即可得出結(jié)果；
（2）①由折疊的性質(zhì)得出：△△AB′C≌△ABC，得出∠AB′C=∠B，CB′=CB，再由角平分線的性質(zhì)得出CB′=CD，得出CB=CD即可；
②由C是BD的中點，得出△OCD的面積=$\frac{1}{4}$矩形ODBE的面積，再根據(jù)雙曲線的解析式求出△OCD的面積=△AOE的面積=1，四邊形OABC的面積=矩形ODBE的面積-△OCD的面積-△AOE的面積，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）把點（0.5，4）代入y=$\frac{m}{x}$得：m=0.5×4=2，
∴雙曲線的解析式為：y=$\frac{2}{x}$；
（2）①證明：根據(jù)題意得：△△AB′C≌△ABC，
∴∠AB′C=∠B，CB′=CB，
∵四邊形ODBE是矩形，
∴∠ODC=∠B=90°，OD=BE，OE=BD，
∴∠AB′C=∠B=90°，
∵OC平分∠AOD，
∴CB′=CD，
∴CB=CD，
即點C是BD的中點；
②∵四邊形ODBE是矩形，C是BD的中點，
∴△OCD的面積=$\frac{1}{4}$矩形ODBE的面積，
∵y=$\frac{2}{x}$，
∴△OCD的面積=△AOE的面積=$\frac{2}{2}$=1，
∴矩形ODBE的面積=4，
∴四邊形OABC的面積=矩形ODBE的面積-△OCD的面積-△AOE的面積=4-1-1=2．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了反比例函數(shù)解析式的求法、折疊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及面積的計算等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．