Question

12．求證：三角形一個角的平分線與這個角的對邊上的高所形成的夾角等于另兩個角之差的一半．
已知：△ABC中，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，∠C＞∠B
求證：∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）
證明：（1）如圖①所示，當(dāng)高AE在三角形ABC內(nèi)部時，
∵AE⊥BC于E，
∴∠B+∠BAE=90°（直角三角形兩銳角互余）
∴∠BAE=90°-∠B
同理，∠CAE=90°-∠C
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD
∴∠BAE-∠CAE=2∠DAE=（90°-∠B）-（90°-∠C）=∠C-∠B．
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）
（2）如圖②所示，當(dāng)高AE在三角形外部時，還能得到∠DAE=$\frac{1}{2}（∠ACB-∠B）$嗎？如果不能，請說明理由；如果能，請證明．

Answer 1

分析 由角平分線的定義可知∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，由直角三角形兩銳角互余可知∠3=90°-∠ACE，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠BAC=180°-∠B-∠ACB，由三角形外角的性質(zhì)得到∠ACE=∠B+∠BAC，最后根據(jù)∠DAE=∠2+∠3進(jìn)行化簡整理即可．

解答 解：∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵AE為BC邊上的高線，
∴∠3=90°-∠ACE．
∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB，∠ACE=∠B+∠BAC，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠ACB）+90°-（∠B+∠BAC）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠ACB）+90°-（∠B+180°-∠B-∠ACB）
=90°-$\frac{1}{2}∠B$-$\frac{1}{2}∠ACB$+90°-180°+∠ACB
=$\frac{1}{2}∠ACB-\frac{1}{2}∠B$．
=$\frac{1}{2}（∠ACB-∠B）$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)，利用三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．