Question

3．（2017，石家莊裕華區(qū)模擬）在學(xué)習(xí)三角形中位線的性質(zhì)時(shí)，小亮對課本給出的解決辦法進(jìn)行了認(rèn)真思考：

課本研究三角形中位線性質(zhì)的方法 已知：如圖①，已知△ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊中點(diǎn)．求證：DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC． 證明：延長DE至點(diǎn)F，使EF=DE，連接FC．…則△ADE≌△CFE．∴…

請你利用小亮的發(fā)現(xiàn)解決下列問題：
（1）如圖③，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且AE=EF，求證：AC=BF．

請你幫助小亮寫出輔助線作法并完成論證過程：
（2）解決問題：如圖⑤，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位線．過點(diǎn)D，E作DF∥EG，分別交BC于點(diǎn)F，G，過點(diǎn)A作MN∥BC，分別與FD，GE的延長線交于點(diǎn)M，N，則四邊形MFGN周長的最小值是8+10$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△BDF≌△CDM，得出MC=BF，再判斷出AC=MC，即可得出結(jié)論
（2）先判斷出四邊形DEGF，DENM，F(xiàn)GNM是平行四邊形，即：MN=FG=DE=4再判斷出平行四邊形FGNM是矩形時(shí)，四邊形MFGN的周長最小，最后用銳角三角函數(shù)求出MF=GN=5$\sqrt{2}$，求和即可得出結(jié)論

解答 證明：（1）如圖1，延長AD至點(diǎn)M，使MD=FD，連接MC，
在△BDF和△CDM中，BD=CD，∠BDF=∠CDM，DF=DM．
∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA．
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC．
∴AC=MC．
∴BF=AC．

（2）如圖2，
在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，
∵DE是△ABC的中位線．
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4，DE∥BC
∵DF∥EG，MN∥BC，
∴四邊形DEGF，DENM，F(xiàn)GNM是平行四邊形，
∴MN=FG=DE=4，
∴要四邊形MFGN周長的最小只有MF=NG最小，
即：MF⊥BC，
∴平行四邊形FGNM是矩形，
過點(diǎn)A作AP⊥BC于P，
∴AP=MF=NG，
在Rt△ABP中，∠B=45°，AB=10，
∴AP=5$\sqrt{2}$，
∴MF=NG=5$\sqrt{2}$，
即四邊形MFGN周長的最小值是8+10$\sqrt{2}$．
故答案為：8+10$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出MC=BF，解（2）的關(guān)鍵是判斷出四邊形MFGN是矩形時(shí)周長最小，是一道中等難度的題目．