Question

6．如圖，在△ABC中，點D在AB上，過點D作DF⊥AB交BC于E，交AC延長線于F，DE=AB，EF=BD，若BE=1，則AF的長為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 過B作BH⊥AB，過E作EH⊥DF，BH，EH交于H，連接AH，HF，得到四邊形DBHE是矩形，由矩形的性質(zhì)得到BH=DE=AB，EH=BD=EF，證得△ABH與△EFH是等腰直角三角形，于是得到∠FHE=∠AHB=45°，HF²=2EF²，AH²=2AB²求出∠AHF=90°，根據(jù)勾股定理得到AH²=2DE²=2（BE²-BD²）=2（1-EF²），AF²=AH²+HF²=2（1-EF²）+2EF²=2，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：過B作BH⊥AB，過E作EH⊥DF，BH，EH交于H，連接AH，HF，
∵DF⊥AB，
∴四邊形DBHE是矩形，
∴BH=DE=AB，EH=BD=EF，
∴△ABH與△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE=∠AHB=45°，HF²=2EF²，AH²=2AB²
∴∠AHF=90°，
∵DE=AB，
∴AH²=2DE²=2（BE²-BD²）=2（1-EF²），
∴AF²=AH²+HF²=2（1-EF²）+2EF²=2，
∴AF=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．