Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=$\frac{3}{4}$x+6與x、y軸分別交于點A、點B，將線段BA繞著B點逆時針方向旋轉90°，得到線段BC．
（1）求C點的坐標；
（2）連接AC，點D為BC的中點，過D作AC的垂線EF，交AC于E，交直線AB于F，連AD．若點P為射線AD上的一動點，連接PC、PF，當點P在射線AD上運動時，PF²-PC²的值是否發(fā)生改變？若改變，請求出其范圍；若不變，求出其值并說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得A、B的坐標和AB的長，過C作CD垂直于y軸，設出C坐標，利用AAS得到三角形AOB與三角形BDC全等，利用全等三角形對應邊相等得到兩對邊相等，求出m與n的值，即可確定出C坐標；
（2）如圖2所示，連接CF交AP于點H，利用SAS得到三角形ABD與三角形CBF全等，利用全等三角形對應角相等得到∠BAD=∠BCF，再由對頂角相等得到∠CHD=∠ABD=90°，即CH垂直于AP，利用勾股定理得到PF²-PC²=（FH²+PH²）-（CH²+PH²）=PH²-CH²，再由FH²-CH²=（DF²-DH²）-（DC²-DH²）=DF²-DC²，求出BD與DC的長，進而得到DF的長，確定出PF²-PC²的為25．

解答 解：（1）令y=0得：$\frac{3}{4}x+6=0$，解得：x=-8，
∴OA=8．
令x=0得：y=6，
∴OB=6．
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
如圖1所示，過C作CD⊥y軸交于點D，

依題意設C（m，n）（m＞0，n＜0），
∵AB=BC，且AB⊥BC，
∴∠BAO+∠ABO=∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠DBC，
在△AOB和△BDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDC=90°}\\{∠BAO=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD=OA，DC=OB，即6-n=8，m=6，
∴n=-2，
則C坐標為（6，-2）；
（2）不變．
理由：如圖2所示，連接CF交AP于點H．

依題意得：△ABC為等腰直角三角形，即∠BAC=∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，
∴△AEF為等腰直角三角形．
∴∠BFD=45°．
∴△BDF為等腰直角三角形．
∴BF=BD．
在△ABD和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBF=90°}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBF（SAS）．
∴∠BAD=∠BCF．
∵∠ABD=∠PDC，
∴∠DHC=∠ABC=90°，即CF⊥AP．
∴PF²-PC²=（FH²+PH²）-（CH²+PH²）=PH²-CH²．
∵FH²-CH²=（DF²-DH²）-（DC²-DH²）=DF²-DC²，
∵AB=BC=10，D為BC的中點，
∴BD=DC=5．
∵△BDF為等腰直角三角形，
∴DF=$\sqrt{2}$BD=5$\sqrt{2}$，
∴PF²-PC²=DF²-DC²=25．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，勾股定理，坐標與圖形性質，等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．