Question

12．若4n+1、6n+1都是完全平方數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是20．

Answer 1

分析 根據(jù)4n+1、6n+1的特點(diǎn)設(shè)6n+1=（2m+1）²=4m（m+1）+1，得出4n+1=16k+1，6n+1=24k+1，進(jìn)而利用當(dāng)k=1，2，3，4…時(shí)，求出符合題意的答案．

解答 解：∵4n+1，6n+1都是奇平方數(shù)，
設(shè)6n+1=（2m+1）²=4m（m+1）+1，
則6n=4m（m+1），
而m（m+1）為偶數(shù)，
∴4|n，
設(shè)n=4k，則4n+1=16k+1，6n+1=24k+1，
當(dāng)k=1，2，3，4時(shí)，4n+1，6n+1不同為平方數(shù)，
而當(dāng)k=5，即n=20時(shí)，4n+1=81，6n+1=121皆為平方數(shù)，因此正整數(shù)n的最小值是20．
故答案為：20．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了完全平方數(shù)，正確得出4n+1=16k+1，6n+1=24k+1進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵．