Question

3．已知關(guān)于x的方程x²-（2k+3）x+k²+2k=0，有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）若方程的兩實數(shù)根x₁，x₂滿足x₁•x₂-x₁²-x₂²=-16，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=（2k+3）²-4（k²+2k）＞0，然后解不等式即可得到k的范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2k+3，x₁x₂=k²+2k，再利用完全平方公式把x₁•x₂-x₁²-x₂²=-16變形為（x₁+x₂）²-3x₁x₂-16=0，則（2k+3）²-3（k²+2k）-16=0，然后解方程求出滿足條件的k的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=（2k+3）²-4（k²+2k）＞0，
解得k＞-$\frac{9}{4}$；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=2k+3，x₁x₂=k²+2k，
因為x₁•x₂-x₁²-x₂²=-16，
所以x₁•x₂-[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=-16，即[（x₁+x₂）²-3x₁x₂-16=0，
所以（2k+3）²-3（k²+2k）-16=0，
解得k₁=-7，k₂=1，
而k＞-$\frac{9}{4}$，
所以k=1．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．