Question

5．設(shè)${a_1}=1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}$，${a_2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}$，${a_3}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}$，…，${a_n}=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$，令S_n=$\sqrt{a_1}$+$\sqrt{a_2}$+$\sqrt{a_3}$+…+$\sqrt{a_n}$，則$\frac{{2014×{S_{2013}}}}{2013}$的值為2015．

Answer 1

分析 先計(jì)算出a₁=（$\frac{3}{2}$）²，a₂=（$\frac{7}{6}$）²，a₃=（$\frac{13}{12}$）²，…，a_n=[$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$]²，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到S₂₀₁₃=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$+$\frac{13}{12}$+…+$\frac{2013×2014+1}{2013×2014}$，接著把分?jǐn)?shù)都化成真分?jǐn)?shù)，利用分式的減法運(yùn)算得到S₂₀₁₃=2014-$\frac{1}{2014}$，然后把S₂₀₁₃=2014-$\frac{1}{2014}$代入$\frac{{2014×{S_{2013}}}}{2013}$中計(jì)算即可．

解答 解：∵a₁=（$\frac{3}{2}$）²，${a_2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}$=（$\frac{7}{6}$）²，${a_3}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}$=（$\frac{13}{12}$）²，…，${a_n}=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$=[$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$]²，
∴S₂₀₁₃=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$+$\frac{13}{12}$+…+$\frac{2013×2014+1}{2013×2014}$=2013+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{2013×2014}$=2013+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$=2014-$\frac{1}{2014}$
∴$\frac{{2014×{S_{2013}}}}{2013}$=$\frac{2014×（2014-\frac{1}{2014}）}{2013}$=$\frac{201{4}^{2}-1}{2013}$=$\frac{（2014+1）（2014-1）}{2013}$=2015．
故答案為2015．

點(diǎn)評 本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．