Question

6．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，點(diǎn)H、F、E、G分別在AB、BC、CD、DA上，且AH=AG=CE=CF=x，四邊形EFHG的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)．四邊形EFHG的面積最大？

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=4，得出BH=DE=8-x，DG=BF=4-x，四邊形EFHG的面積=矩形ABCD的面積-△AGH的面積-△CEF的面積-△BFH的面積-△DEG的面積，即可得出結(jié)果；
（2）先把二次函數(shù)化成配方后的形式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=4，
∵AH=AG=CE=CF=x，
∴BH=DE=8-x，DG=BF=4-x，
∴四邊形EFHG的面積=矩形ABCD的面積-△AGH的面積-△CEF的面積-△BFH的面積-△DEG的面積
=8×4-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$（8-x）（4-x）-$\frac{1}{2}$（8-x）（4-x）=-2x²+12x，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x²+12x；
（2）∵y=-2x²+12x=-2（x-3）²+18，-2＜0，
∴y有最大值，
當(dāng)x=3時(shí)，y的最大值=18，
即當(dāng)x=3時(shí)，四邊形EFHG的面積最大=18．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形和四邊形面積的計(jì)算、二次函數(shù)的最值；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．