Question

14．如圖1，已知拋物線y=ax²+bx+2的圖象經(jīng)過點A-1，0（，B（4，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點Q（m，m-1）是拋物線上位于第一象限內(nèi)點點，P是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），經(jīng)過點P分別作PD∥BQ交AQ于點D，PE∥AQ交BQ于點E．
①求證：四邊形PDQE是矩形；
②連接DE，試直接寫出線段DE的長度范圍是2≤DE＜$2\sqrt{5}$（直接填空）；
③如圖2，在拋物線上是否存在一點F，使得P、F、A、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點F和點P坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、B的坐標代入拋物線y=ax²+bx+2即可求得解析式；（2）將點Q（m，m-1）的坐標代入拋物線解析式求得點Q的坐標，再根據(jù)過股定理的逆定理可得∴∠Q=90°，從而可證明四邊形PDQE是矩形；再根據(jù)點P的不同位置可得出線段DE的長度范圍；分類討論：當(dāng)以AP為邊時，AP為對角線時得出滿足條件的點F和點P坐標．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
所以函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$．
（2）①將點Q坐標代入二次函數(shù)關(guān)系式得$-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2=m-1$，解得m₁=-2，m₂=3其中m₁=-2不合題意舍去．
∴點Q的坐標為（3，2）
則BQ²=5，AQ²=20，AB²=25，
∴BQ²+AQ²=AB²．
∴△ABQ為直角三角形．
∴∠Q=90°
∵PD∥BQ，PC∥AQ，
∴∠PDQ=∠PEQ=90°（或四邊形PDQE是平行四邊形）．
∴四邊形PDQE是矩形．
②∵四邊形PDQE是矩形
∴DE=PQ
∵點Q的坐標為（3，2）
∴當(dāng)PQ⊥x軸時，PQ最小，此時PQ=DE=2
當(dāng)點P接近點A時，PQ最大，此時PQ=DE接近于AQ=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$
∴2≤DE＜$2\sqrt{5}$．
③當(dāng)以AP為邊時，則它的對邊只可能是CF，如圖，
∵CF=3，
∴點F的坐標為（3，2）點P的坐標為（2，0）；

當(dāng)以AP為對角線時，如圖，可得F的縱坐標與點C的縱坐標互為相反數(shù)，即為-2，
代入二次函數(shù)解析式得-$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x$+2=-2，解得x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$
∵點F在第三象限，
∴x=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，即點F的坐標為（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）
則此時點F的坐標為（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0），
∴點F的坐標為（3，2）點P的坐標為（2，0），或點F的坐標為（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）點P的坐標為（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0）．

點評 此題考查傳統(tǒng)的待定系數(shù)求函數(shù)解析式、矩形的判定方法和平行四邊形的判定與性質(zhì)，在解決本題時要根據(jù)不同情況進行分類討論得出符號條件的不同情況．