Question

20．閱讀材料并解答問題：
與正三角形各邊都相切的圓叫做正三角形的內(nèi)切圓，與正四邊形各邊都相切的圓叫做正四邊形的內(nèi)切圓，…，與正n邊形各邊都相切的圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓，設正n（n≥3）邊形的面積為S_正n邊形，其內(nèi)切圓的半徑為r，試探索正n邊形的面積．（結果可用三角函數(shù)表示）
如圖①，當n=3時，設AB切圓O于點C，連結OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴$∠AOC=\frac{1}{2}AOB$，AB=2BC．
在Rt△AOC中，∵$∠AOC=\frac{1}{2}•\frac{{{{360}°}}}{3}={60°}$，OC=r，∴AC=r•tan60°，AB=2r•tan60°，∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}•r•2rtan{60°}={r^2}tan{60°}$，∴${S_{正三角形}}=3{S_{△OAB}}=3{r^2}•tan{60°}$．
（1）如圖②，當n=4時，仿照（1）中的方法和過程可求得：S_正四邊形=4r²；
（2）如圖③，當n=5時，仿照（1）中的方法和過程求S_正五邊形；
（3）如圖④，根據(jù)以上探索過程，請直接寫出S_正n邊形=nr²tan$\frac{180°}{n}$．

Answer 1

分析 （1）如圖②，要求正四邊形的面積，只需求△OAB的面積，只需求AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后運用三角函數(shù)即可解決問題；
（2）如圖③，要求正五邊形的面積，只需求△OAB的面積，只需求AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后運用三角函數(shù)即可解決問題；
（3）如圖④，要求正n邊形的面積，只需求△OAB的面積，只需求AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后運用三角函數(shù)即可解決問題．

解答 解：（1）當n=4時，設AB切圓O于點C，連結OC、OA、OB，如圖②，

則有OC⊥AB，OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，AB=2AC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}•$$\frac{360°}{4}$=45°，OC=r，
∴AC=r•tan45°，AB=2r•tan45°，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan45°=r²tan45°，
∴S_正四邊形=4S_△OAB=4r²tan45°=4r²．
故答案為4r²；

（2）當n=5時，設AB切圓O于點C，連結OC、OA、OB，如圖③，

則有OC⊥AB，OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，AB=2AC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}•$$\frac{360°}{5}$=36°，OC=r，
∴AC=r•tan36°，AB=2r•tan36°，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan36°=r²tan36°，
∴S_正五邊形=5S_△OAB=5r²tan36°；

（3）設AB切圓O于點C，連結OC、OA、OB，如圖④，

則有OC⊥AB，OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，AB=2AC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}•$$\frac{360°}{n}$=$\frac{180°}{n}$，OC=r，
∴AC=r•tan$\frac{180°}{n}$，AB=2r•tan$\frac{180°}{n}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan$\frac{180°}{n}$=r²tan$\frac{180°}{n}$，
∴S_正n邊形=nS_△OAB=nr²tan$\frac{180°}{n}$．
故答案為S_正n邊形=nr²tan$\frac{180°}{n}$．

點評 本題主要考查了正多邊形和圓、銳角三角函數(shù)、切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，運用已有的經(jīng)驗解決問題是解決本題的關鍵．