Question

1．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，連結(jié)AD₁、BC₁．已知∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x，△ACD與△A₁C₁D₁重疊部分的面積為y．
（1）求證：△A₁AD₁≌△CC₁B；
（2）當(dāng)x=1時，求證：四邊形ABC₁D₁是菱形；
（3）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)易得∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，結(jié)論顯然；
（2）由所給條件可證明△AC₁B是等邊三角形，ABC₁D₁自然是菱形；
（3）由△AC₁F∽△ACD可得面積之比等于相似比的平方，利用這一等量關(guān)系列出等式，變形即得所求關(guān)系式．

解答 解：（1）如圖1，

∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠DAC=∠ACB，
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，
在△A₁AD₁與△CC₁B中，$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\\{∠{A}_{1}=∠ACB}\\{{A}_{1}{D}_{1}=CB}\end{array}\right.$，
∴△A₁AD≌△CC₁B；
（2）如圖2，

∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC₁=1，
∴△AC₁B是等邊三角形，
∴AB=D₁C₁，
又AB∥BC₁，
∴四邊形ABC₁D₁是菱形；
（3）如圖3，

∵C₁D₁∥CD，
∴△AC₁F∽△ACD，
∴$\frac{{S}_{△A{C}_{1}F}}{{S}_{△ACD}}=（\frac{2-x}{2}）^{2}$，
解得：$y=\frac{\sqrt{3}}{8}（2-x）^{2}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、平移變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合性較強(qiáng)，難度中等．清楚矩形、菱形等基本幾何圖形的性質(zhì)以及平移變換的特征是解決本題的關(guān)鍵．