Question

15．有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm．
①如圖1，現(xiàn)將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，則CD=3 cm．
②如圖2，若將直角∠C沿MN折疊，點C與AB中點H重合，點M、N分別在AC、BC上，則AM²、BN²與MN²之間有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先求得AB的長，然后由翻折的性質(zhì)可知DC′⊥AB，DC′=DC，最后根據(jù)S_ACD+S_ADB=S_△ABC即可求得CD的長；
（2）過點B作BP∥AC交MH延長線于點P，連接NP，首先證明△AMH≌△BPH，AM=BP，MH=PH，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到MN=NP，在Rt△NBP中利用勾股定理證明即可．

解答 解：（1）如圖1所示．

在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$．
由翻折的性質(zhì)可知：DC′⊥AB，DC′=DC．
∵S_ACD+S_ADB=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}AC•CD+\frac{1}{2}AB•C′D=\frac{1}{2}AC•CB$．
∴$\frac{1}{2}×6×CD+\frac{1}{2}×10×C′D=\frac{1}{2}×6×8$．
又∵CD=C′D，
∴3CD+5CD=24．
∴CD=3．
（2）AM²+BN²=MN²．
證明：過點B作BP∥AC交MH延長線于點P，連接NP．

∵BP∥AC，
∴∠A=∠PBH
在△AMH和△BPH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠PBH}\\{AH=BH}\\{∠AHM=∠BHP}\end{array}\right.$，
∴△AMH≌△BPH．
∴AM=BP，MH=PH．
又∵NH⊥MP
∴MN=NP
∵BP∥AC，∠C=90°
∴∠NBP=90°
∴BP²+BN²=NP²
∴AM²+BN²=MN²．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．