Question

2．如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，將△ABC繞點A順時針方向旋轉60°到△AB′C′的位置，則C′B的長為（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$-2
• B． $\sqrt{3}$
• C． 4-2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；證明△ABB′為等邊三角形，此為解決問題的關鍵性結論；證明△BB′C′≌△BAC，得到∠B′BC′=∠ABC′，即可證明BC'是等腰三角形邊上的角平分線，即高線，延長BC'交AB'于點D，則BC'=BD-C'D．

解答 解：如圖，連接BB′，延長BC'交AB'于點D；由題意得：
AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′為等邊三角形，
∴∠B′BA=60°，BB′=BA；
在△BB′C′與△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BB′=BA}\\{BC′=BC′}\\{B′C′=AC′}\end{array}\right.$，
∴△BB′C′≌△BAC（SSS），
∴∠B′BC′=∠ABC′=30°，即BD是等邊△ABB′邊上的高．
又∵AB′=AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4，
∴C′D=$\frac{1}{2}$AB′=2，BD=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
∴BC′=BD-C′D=2$\sqrt{3}$-2．
故選A．

點評 本題主要考查了旋轉變換的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應用等幾何知識點問題．解題的關鍵是作輔助線；靈活運用旋轉變換的性質(zhì)、全等三角形的判定來分析、解答．