Question

15．【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式．
2002年8月在北京召開了國際數(shù)學(xué)大會，大會會標(biāo)如圖1所示，它是由四個形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．
（1）圖中陰影部分的面積用兩種方法可分別表示為c²-2ab、（b-a）²；
（2）你能得出的a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系是a²+b²=c²（等號兩邊需化為最簡形式）；
（3）一直角三角形的兩條直角邊長為5和12，則其斜邊長為13．
【知識遷移】通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．
如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8快．
（4）用不同方法計算這個正方體體積，就可以得到一個等式，這個等式可以為（a+b）³=a³+b³+3a²b+3ab²．
（5）已知a+b=4，ab=2，利用上面的規(guī)律求a³+b³的值．

Answer 1

分析 （1）求出圖形的各個部分的面積，即可得出答案；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，即可得出答案；
（3）代入求出即可；
（4）求出大正方體的條件和各個部分的體積，即可得出答案；
（5）代入（4）中的等式求出即可．

解答 解：（1）圖中陰影部分的面積為c²-2ab或（b-a）²，
故答案為：c²-2ab，（b-a）²；

（2）由（1）知：c²-2ab=（b-a）²，
即a²+b²=c²，
故答案為：a²+b²=c²；

（3）∵a²+b²=c²，a=5，b=12，
∴c=13，
故答案為：13；

（4）圖形的體積為（a+b）³或a³+b³+a²b+a²b+a²b+ab²+ab²+ab²，
即（a+b）³=a³+b³+3a²b+3ab²，
故答案為：（a+b）³=a³+b³+3a²b+3ab²；

（5）∵a+b=4，ab=2，（a+b）³=a³+b³+3a²b+3ab²，=a³+b³+3ab（a+b）
∴4³=a³+b³+3×2×4，
解得：a³+b³=40．

點評 本題考查了完全平方公式的幾何應(yīng)用，能正確列代數(shù)式表示各個部分的體積和面積是解此題的關(guān)鍵．