Question

17．如圖，已知直線l：y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$以每秒3個(gè)單位的速度向右平移；同時(shí)以點(diǎn)M（2，2）為圓心，2個(gè)單位長度為半徑的⊙M以每秒1個(gè)單位長度的速度向右平移，當(dāng)直線l與⊙M相切時(shí)，則它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{13±2\sqrt{13}}{3}$秒．

Answer 1

分析 根據(jù)題意確定直線的相對(duì)速度，作出直線與圓相切時(shí)的圖形，求出AM、AE，證明△ADM∽△AEC，△ADM∽△AFG得到成比例線段，求出時(shí)間．

解答 解：∵直線以每秒3個(gè)單位的速度向右平移，⊙M以每秒1個(gè)單位長度的速度向右平移，
∴相當(dāng)于⊙M靜止，直線以每秒2個(gè)單位的速度向右平移，
直線y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
由題意可知，⊙M的半徑為2，
在直角三角形AMD中，AD=3，DM=2，
由勾股定理得，AM=$\sqrt{13}$，AE=$\sqrt{13}$-2，
當(dāng)直線l與⊙M相切于E時(shí)，
△ADM∽△AEC，
AC：AM=AE：AD，
即AC：$\sqrt{13}$=（$\sqrt{13}$-2）：3，
解得AC=$\frac{13-2\sqrt{13}}{3}$，
∴當(dāng)t=$\frac{13-2\sqrt{13}}{3}$s時(shí)，直線l與⊙M相切；
當(dāng)直線l與⊙M相切于點(diǎn)F時(shí)，
△ADM∽△AFG，
AG：AM=AF：AD，
即AG：$\sqrt{13}$=（$\sqrt{13}$+2）：3，
解得：AG=$\frac{13+2\sqrt{13}}{3}$，
∴當(dāng)t=$\frac{13+2\sqrt{13}}{3}$時(shí)，直線l與⊙M相切，
故答案為：$\frac{13±2\sqrt{13}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是直線與圓的關(guān)系，通過分析得到直線的相對(duì)速度是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意運(yùn)用分情況討論的思想，正確運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)也是重點(diǎn)．