Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）、B（-1，0），且對稱軸為直線x=1．點(diǎn)C是拋物線上x軸上方任意一點(diǎn)，直線CD平行于x軸，與y軸交于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）設(shè)以點(diǎn)A、B、C、O為頂點(diǎn)的四邊形面積為S．
①當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時，求S=3時x的值．
②當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)∠ABO=∠OCD時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²+bx+c，將點(diǎn)A（0，2）、B（-1，0）分別代入解析式并根據(jù)對稱軸為x=-$\frac{2a}$列方程解答；
（2）①當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時，以點(diǎn)A、B、C、O為頂點(diǎn)的四邊形面積S=S_△ABO+S_△ACO；
②當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時，以點(diǎn)A、B、C、O為頂點(diǎn)的四邊形面積S=S_△ACO+S_△BCO．
（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時，∠ABO=∠OCD，可得△ABO∽△OCD；
當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時，∠ABO=∠OCD，可得△ABO∽△OCD．

解答 解：（1）設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）、B（-1，0），且對稱軸為x=1．
∴$\left\{\begin{array}{l}c=2\\-\frac{2a}=1\\ a-b+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{3}\\ b=\frac{4}{3}\\ c=2\end{array}\right.$，
∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$（或$y=-\frac{2}{3}{（x-1）^2}+\frac{8}{3}$）．
（2）①當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時，
以點(diǎn)A、B、C、O為頂點(diǎn)的四邊形面積S=S_△ABO+S_△ACO=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2x=3．
解得x=2．
②當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時，
以點(diǎn)A、B、C、O為頂點(diǎn)的四邊形面積
S=S_△ACO+S_△BCO=$\frac{1}{2}$×2（-x）+$\frac{1}{2}$×1•（$-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$）
=$-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{1}{3}x+1$．
∴S 關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為S=$-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{1}{3}x+1$．
（3）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時，
∵∠ABO=∠OCD，
∴△ABO∽△OCD，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{CD}$，則有$\frac{AO}{BO}=\frac{OD}{CD}=\frac{2}{1}$，
∴2x=$-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$．
解得x=$\frac{{-1+\sqrt{13}}}{2}$或x=$\frac{{-1-\sqrt{13}}}{2}$（舍）．
當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時，
∵∠ABO=∠OCD，
∴△ABO∽△OCD，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{CD}$，則有$\frac{AO}{BO}=\frac{OD}{CD}=\frac{2}{1}$，
∴-2x=$-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$．
解得x=$\frac{{5-\sqrt{37}}}{2}$或x=$\frac{{5+\sqrt{37}}}{2}$（舍）．
綜上，當(dāng)∠ABO=∠OCD時，x的值為$\frac{{-1+\sqrt{13}}}{2}$或$\frac{{5-\sqrt{37}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形的面積公式、相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．