Question

12．如圖，在⊙O的內(nèi)接等腰三角形ABC中，AB=AC，弦BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，BE=BC．
（1）求證：五邊形AEBCD是正五邊形；
（2）若BD、CE相交于點(diǎn)F，試判斷四邊形AEFD的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）欲求證五邊形AEBCD是正五邊形，就是證明這個(gè)五邊形的五條邊所對的弧相等即可；
（2）首先利用正五邊形的性質(zhì)得出AE∥BD，同理可得：EC∥AD，進(jìn)而利用菱形的判定方法得出答案．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵弦BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE，
∵BE=BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{BC}$，
∴∠BEC=∠BCE，
∵∠BCA=∠BEC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=∠BAC，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{BE}$，
∴五邊形AEBCD是正五邊形；

（2）四邊形AEFD是菱形，
理由：∵五邊形AEBCD是正五邊形，
∴∠EBC=∠EAD=∠AEB=∠ADC=∠BCD=108°，
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠BDC=36°，
∴∠ADB=72°，
∴∠EAD+∠ADB=180°，
∴AE∥BD，
同理可得：EC∥AD，
則四邊形AEFD是平行四邊形，
∵AE=AD，
∴四邊形AEFD是菱形．

點(diǎn)評 此題主要考查了正多邊形和圓以及菱形的判定，正確掌握正多邊形的性質(zhì)與判定方法是解題關(guān)鍵．