Question

4．已知，等邊三角形ABC的邊長為5，點P在線段AB上，點D在線段BC上，且△PDE是等邊三角形．
（1）初步嘗試：若點P與點A重合時（如圖1），BD+BE=5．
（2）類比探究：將點P沿AB方向移動，使AP=1，其余條件不變（如圖2），試計算BD+BE的值是多少？
（3）拓展遷移：如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，點P在線段AB的延長線上，點D在線段CB的延長線上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，設(shè)BP=a，請直接寫出線段BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠BPE=∠CAD，進而判斷出△PBE≌△ACD，即可得出BD+BE=BC=5；
（2）先構(gòu)造出等邊三角形，再判斷出∠BPE=∠FPD，進而判斷出△PBE≌△PFD，即可得出BD+BE=BF=4；
（3）類似于（2）的方法判斷出△PBE≌△PFD得出BE=DF，再判斷出BF=2BG，利用用銳角三角函數(shù)求出BG=a•cos55°，即可BD-BE=BF=2a•cos55°．

解答 解：（1）∵△ABC和△PDE是等邊三角形，
∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°，
∴∠BPE=∠CAD，
∴△PBE≌△ACD，
∴BE=CD，
∴BD+BE=BD+CD=BC=5，
故答案為5；

（2）如圖2，過點P作PF∥AC交BC于F，
∴△FPB是等邊三角形，
∴BF=PF=PB=AB-AP=4，∠BPF=60°，
∵△PDE是等邊三角形，
∴PD=PE，∠DPE=60°，
∴∠BPE=∠FPD，
∴△PBE≌△PFD，
∴BE=DF，
∴BD+BE=BD+DF=BF=4；

（3）如圖3，
過點P作PF∥AC交BC于F，
∴∠BPF=∠BAC=70°，∠PFB=∠C，
∵AB=AC，∠BAC=70°，
∴∠ABC=∠C=55°，
∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°，
∴PF=PB=a，
∵∠BPF=∠DPE=70°，
∴∠DPF=∠EPB，
∵PD=PE，
∴△PBE≌△PFD，
∴BE=DF，
過點P作PG⊥BC于G，
∴BF=2BG，
在Rt△BPG中，∠PBD=55°，
∴BG=BP•cos∠PBD=a•cos55°，
∴BF=2BG=2a•cos55°，
∴BD-BE=BD-DF=BF=2a•cos55°．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出△PBE≌△ACD，解（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造出等邊三角形，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求出BG，是一道中等難度的題目．