Question

17．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），對(duì)稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．
①當(dāng)線段PQ=$\frac{3}{4}$AB時(shí)，求tan∠CED的值；
②當(dāng)以點(diǎn)C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的對(duì)稱軸方程可計(jì)算出b=-2，再把C（0，-3）代入拋物線解析式可得到c=-3，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-2x-3；
（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題得到A（-1，0），B（3，0），然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式；
（3）①由AB=4得PQ=$\frac{3}{4}$AB=3，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到P點(diǎn)和Q點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$），所以F（0，-$\frac{7}{4}$），則FC=3-OF=$\frac{5}{4}$，由于PQ垂直平分CE于點(diǎn)F，則CE=2FC=$\frac{5}{2}$，易得D（1，-2），過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，如圖1，則DG=1，CG=1，所以GE=CE=CG=$\frac{3}{2}$，然后在Rt△EGD中，利用正切的定義求解；
②設(shè)E（0，t），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到DE²=1²+（t+2）²，CD²=1²+（-2+3）²=2，EC²=（t+3）²，然后分類討論：當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，DE²+CD²=EC²，即1²+（t+2）²+2=（t+3）²；當(dāng)∠CED=90°時(shí)，DE²+CE²=CD²，即1²+（t+2）²+（t+3）²=2；當(dāng)∠ECD=90°時(shí)，CD²+CE²=DE²，即2+（t+3）²=1²+（t+2）²，再分別解方程求出t確定E點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1
∴-$\frac{2}$=1，解得b=-2，
∵拋物線y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴c=-3，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-2x-3；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0），
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+m，
把C（0，-3），B（3，0）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{3k+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3；
（3）①∵AB=4，
∴PQ=$\frac{3}{4}$AB=3，
∵PQ⊥y軸，
∴PQ∥x軸，
∴P點(diǎn)和Q點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，y=x²-2x-3=-$\frac{7}{4}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$），
∴F（0，-$\frac{7}{4}$），
∴FC=3-OF=3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∵PQ垂直平分CE于點(diǎn)F，
∴CE=2FC=$\frac{5}{2}$，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，則D（1，-2），
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，如圖1，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE=CG=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
在Rt△EGD中，tan∠CED=$\frac{DG}{EG}$=$\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$；
②設(shè)E（0，t），
DE²=1²+（t+2）²，CD²=1²+（-2+3）²=2，EC²=（t+3）²，
當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，DE²+CD²=EC²，即1²+（t+2）²+2=（t+3）²，解得t=-1，此時(shí)P（1-2$\sqrt{2}$，-2）；
當(dāng)∠CED=90°時(shí)，DE²+CE²=CD²，即1²+（t+2）²+（t+3）²=2，解得t₁=-2，t₂=-3（舍去），此時(shí)P（1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；
當(dāng)∠ECD=90°時(shí)，CD²+CE²=DE²，即2+（t+3）²=1²+（t+2）²，解得t=-3（舍去），
綜上所述，P嗲坐標(biāo)為（1-$\sqrt{2}$，-2）或（1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)．