Question

8．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=Rt∠，∠C=60°，AD=4，CD=8，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折疊，若點(diǎn)C洽與點(diǎn)A重合，EF為折痕，則CE=7，sin∠AFE=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

Answer 1

分析 連接AC交EF于M，過(guò)F作FN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于N，延長(zhǎng)NF交BC于H，由折疊的性質(zhì)得：EF垂直平分AC，AF=CF，根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{48+64}$=4$\sqrt{7}$得到AM=2$\sqrt{7}$，設(shè)DF=x，根據(jù)已知條件得到DN=$\frac{1}{2}$x，NF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，根據(jù)勾股定理列方程求得AF=CF=5.6，NF=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，于是得到sin∠AFE=$\frac{AM}{AF}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，CH=2.8，由勾股定理得到AB²+BE²=AE²，列方程求出CE=7．

解答 解：連接AC交EF于M，過(guò)F作FN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于N，延長(zhǎng)NF交BC于H，
由折疊的性質(zhì)得：EF垂直平分AC，
∴AF=CF，
∵∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{48+64}$=4$\sqrt{7}$，
∴AM=2$\sqrt{7}$，
設(shè)DF=x，
∵∠BCD=60°，AD∥BC，
∴∠NDF=60°，
∴∠DFN=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}$x，NF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在R_t△ANF中，AN²+NF²=AF²，
即：（4+$\frac{x}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）²=（8-x）²，
解得：x=2.4．
∴AF=CF=5.6，NF=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
∴sin∠AFE=$\frac{AM}{AF}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，CH=2.8，
∴BC=8，AB=4$\sqrt{3}$，
∴AB²+BE²=AE²，
即：（4$\sqrt{3}$）²+（8-CE）²=CE²，
解得：CE=7，
故答案為：7，$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換-折疊問(wèn)題，解直角三角形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．