Question

6．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2kx+k²+2=2（1-x）有兩個實數(shù)根x₁，x₂．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若方程的兩實根x₁，x₂滿足|x₁+x₂|=x₁x₂-1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根可以得到△≥0，從而求得k的取值范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根之和和兩根之積代入代數(shù)式求k的值即可．

解答 解：x²-2kx+k²+2=2（1-x），
整理得x²-（2k-2）x+k²=0．
（1）∵方程有兩個實數(shù)根x₁，x₂．
∴△=（2k-2）²-4k²≥0，
解得k≤$\frac{1}{2}$；

（2）由根與系數(shù)關(guān)系知：
x₁+x₂=2k-2，x₁x₂=k²，
又|x₁+x₂|=x₁x₂-1，代入得，
|2k-2|=k²-1，
∵k≤$\frac{1}{2}$，
∴2k-2＜0，
∴|2k-2|=k²-1可化簡為：k²+2k-3=0．
解得k=1（不合題意，舍去）或k=-3，
∴k=-3．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程沒有實數(shù)根．以及根與系數(shù)的關(guān)系．