Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm，線段DE（端點D從點B開始）沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當(dāng)端點E到達(dá)點C時停止運動，過點E作EF∥AC交AB于點F，連接DF，設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）
（1）用含t的代數(shù)式表示線段EF的長度；
（2）在運動過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由BD=tcm，DE=4cm，可得BE=BD+DE=（t+4）cm，又由EF∥AC，即可得△BEF∽△BAC，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得EF的長；
（2）運動過程中使△DEF為等腰三角形，則要考慮哪兩邊為腰，故要考慮三種情況，當(dāng)DF=EF時，當(dāng)DE=EF時，當(dāng)DE=EF時．分別討論易根據(jù)三角形相似、邊成比例及（1）中EF的值得到關(guān)于t的方程，解得即可．

解答 解：（1）∵BD=tcm，DE=4cm，
∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴EF：CA=BE：BC，
即EF：10=（t+4）：16，
解得：EF=$\frac{5}{8}$（t+4）（cm）；

（2）分三種情況討論：
①如圖1，∵當(dāng)DF=EF時，
∴∠EDF=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠DEF=∠C，
∴∠EDF=∠B，
∴點B與點D重合，
∴t=0；
②如圖2，當(dāng)DE=EF時，
則4=$\frac{5}{8}$（t+4），
解得：t=$\frac{12}{5}$；
③如圖3，∵當(dāng)DE=DF時，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ABC．
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$，
即$\frac{4}{10}$=$\frac{\frac{5}{8}（t+4）}{16}$，
解得：t=$\frac{156}{25}$；
綜上所述，當(dāng)t=0、$\frac{12}{5}$或$\frac{156}{25}$秒時，△DEF為等腰三角形．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握分類討論思想、方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．