Question

16．如圖1，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，將△EFD繞點A 順時針旋轉(zhuǎn)，當DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止．不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點，如圖2．
（1）問①△AGC∽△HGA嗎？答：相似；②△AGC∽△HAB嗎？為什么？
（2）設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)圖2的情況說明理由）；
（3）在整個運動過程中，當x為何值時，△AGH是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出結(jié)論，由∠AGB是△AGC和△AGH的外角，于是得到∠GAC=∠H，∠ACB=∠GAH=45°，于是得到結(jié)論；
（2）由△AGC∽△HAB，利用其對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于x、y的關(guān)系式：9：y=x：9即可求解；
（3）此題要采用分類討論的思想，當CG＜$\frac{1}{2}$BC時，當CG=$\frac{1}{2}$BC時，當CG＞$\frac{1}{2}$BC時分別得出即可．

解答 解：（1）①相似，
理由：∵△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，
∵∠H+∠HAC=45°，∠HAC+∠CAG=45°，
∴∠H=∠CAG，
∵∠ACG=∠B=45°，
∴△AGC∽△HAB，
②△AGC∽△HAB，
理由：∵∠AGB是△AGC和△AGH的外角，
∴∠AGB=∠GAC+∠ACB，
∠AGB=∠GAH+∠H，
∵∠ACB=∠GAH=45°，
∴∠GAC=∠H，
∴△AGC∽△HGA；

（2）∵△AGC∽△HAB，
∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，
∴y=$\frac{81}{x}$，
∵AB=AC=9，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{9}^{2}}$=9$\sqrt{2}$．
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{81}{x}$（0＜x≤9$\sqrt{2}$）；

（3）①當CG＜$\frac{1}{2}$BC時，∠GAC=∠H＜∠HAC，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此時，△AGH不可能是等腰三角形，
②當CG=$\frac{1}{2}$BC時，G為BC的中點，H與C重合，△AGH是等腰三角形，
此時，GC=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，即x=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
③當CG＞$\frac{1}{2}$BC時，由（1）△AGC∽△HGA，
若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GH=AH，若GH=AH，則AC=CG，此時x=9，
如圖3，當CG=BC時，
注意：DF才旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置，
此時B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，
∴△AGH為等腰三角形，所以CG=9$\sqrt{2}$．
綜上所述，當x=9或x=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或9$\sqrt{2}$時，△AGH是等腰三角形．

點評 此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合性較強，難易程度適中，是一道很典型的題目．