Question

14．在△ABC中，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，我們稱(chēng)為余弦定理，請(qǐng)用余弦定理完成下面的問(wèn)題．請(qǐng)用余弦定理完成下面的問(wèn)題：
（1）如圖，已知△DEF，∠E=60°，DE=4，DF=$\sqrt{13}$，求EF的長(zhǎng)度；
（2）通過(guò)合理的構(gòu)造，試求cos105°．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用余弦定理即可求出EF的值；
（2）由余弦定理可構(gòu)造出△ABC，求解即可．

解答 解：（1）由余弦定理，可得cosE=$\frac{D{E}^{2}+E{F}^{2}-D{F}^{2}}{2DE•EF}$，
∵∠E=60°，DE=4，DF=$\sqrt{13}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{16+E{F}^{2}-13}{2×4EF}$，
解得EF=1或3；
（2）如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AD⊥BC，AD=1．

∵在RT△ADC中，AD=1．
∴AC=2，CD=$\sqrt{3}$，
∵在RT△ADB中，AD=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，BD=1，
∴在△ABC中，AB=$\sqrt{2}$，AC=2，BC=$\sqrt{3}$+1，
∠BAC=180°-30°-45°=105°，
利用余弦定理可得cos105°=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{2+4-（\sqrt{3}+1）^{2}}{2×\sqrt{2}×2}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)靈活運(yùn)用余弦定理構(gòu)造出三角形．