Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交與點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延長線于點P．
（1）求證：∠BCD=∠BAN．
（2）若AC=4，PC=3，求MN•BC的值．

Answer 1

分析 （1）由AC為⊙O直徑，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根據(jù)PC是⊙O的切線，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到結(jié)論．
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠PBC=∠AMN，證出△BPC∽△MNA，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AC為⊙O直徑，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠ACN=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACN+∠PCB=90°，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AC=4，PC=3，
∴AP=5，
∴PB=1，
∵PC是⊙O的切線，
∴PC²=PM•PA，
∴PM=$\frac{9}{5}$，
∴AM=$\frac{16}{5}$，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，
∴∠PBC=∠AMN，
由（1）知∠BCP=∠BAN，
∴△BPC∽△MNA，
∴$\frac{PB}{MN}$=$\frac{BC}{AM}$，
∴MN•BC=PB•AM=$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握定理．