Question

17．如果有兩點(diǎn)到一條直線的距離相等，那么稱這條直線為“兩點(diǎn)的等距線”．
（1）如圖1，直線CD經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)P，試說明直線CD是點(diǎn)A、B的一條等距線．
（2）如圖2，A、B、C是正方形網(wǎng)格中的三個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中作出所有的直線m，使直線m過點(diǎn)C且直線m是“A、B的等距線”．
（3）如圖3，拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)A（1，-2），B（3，-1），頂點(diǎn)為C．拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S_△APC=S_BPC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足為E，F(xiàn)，利用AAS證明△AEP≌△AFP，得到AE=BF即可證明直線CD是點(diǎn)A、B的一條等距線；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)等距線的定義直接作出圖形；
（3）首先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，然后由S_△APC=S_BPC可得A、B兩點(diǎn)到直線PC的距離相等，再分兩類進(jìn)行討論，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 （1）證明：分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足為E，F(xiàn)，
∴∠AEP=∠BFP=90°，
∵P是AB中點(diǎn)，
∴AP=BP，
在△AEP和△AFP，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠BFP=90°}\\{∠APE=∠BPF}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△AFP（AAS）                       
∴AE=BF，即直線CD是點(diǎn)A、B的一條等距線．

（2）如圖2，直線m₁、m₂就是所有的直線；

（3）由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=-2}\\{-9+3b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=-\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線為y=-x²+$\frac{9}{2}$x-$\frac{11}{2}$，
∵S_△APC=S_△BPC，
∴A、B兩點(diǎn)到直線PC的距離相等，
①當(dāng)PC∥AB時(shí)，計(jì)算得直線AB解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，直線CP解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{25}{16}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+\frac{9}{2}x-\frac{11}{2}}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{25}{16}}\end{array}\right.$
解得x₁=$\frac{7}{4}$，x₂=$\frac{9}{4}$；
∴點(diǎn)P（$\frac{7}{4}$，-$\frac{11}{16}$），
②當(dāng)直線CP過AB中點(diǎn)時(shí)，易求AB中點(diǎn)E（2，-$\frac{3}{2}$），直線CE解析式為y=$\frac{17}{4}$x-10，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+\frac{9}{2}x-\frac{11}{2}}\\{y=\frac{17}{4}x-10}\end{array}\right.$，
解得x₁=-2，x₂=$\frac{9}{4}$；
∴點(diǎn)P（-2，-$\frac{37}{2}$），
綜上所述，存在點(diǎn)P（$\frac{7}{4}$，-$\frac{11}{16}$） 或（-2，-$\frac{37}{2}$） 使S_△APC=S_BPC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題的知識(shí)，此題涉及到點(diǎn)到直線的距離、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式以及拋物線與直線的交點(diǎn)等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是理解兩點(diǎn)間的等距線的定義，此題有一定的難度．