Question

7．定義：對于拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），若b²=ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y=2x²-2x+2是黃金拋物線．
（1）請?jiān)賹懗鲆粋�(gè)與上例不同的黃金拋物線的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）是黃金拋物線，請?zhí)骄吭擖S金拋物線與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況（要求說明理由）；
（3）將黃金拋物線y=2x²-2x+2沿對稱軸向下平移3個(gè)單位．
①直接寫出平移后的新拋物線的解析式；
②設(shè)①中的新拋物線與y軸交于點(diǎn)A，對稱軸與x軸交于點(diǎn)B，動點(diǎn)Q在對稱軸上，問新拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB全等？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由[注：第小題可根據(jù)解題需要在備用圖中畫出新拋物線的示意圖（畫圖不計(jì)分）]．

Answer 1

分析 （1）按照黃金拋物線的定義給a、b、c賦值即可；
（2）將ac=b²代入判別式當(dāng)中，消去ac，然后對b分等于0我不等于0兩種情討論即可；
（3）①根據(jù)“上加下減”寫出平移后的拋物線解析式即可；
②根據(jù)所給的限制條件，只能畫出四種圖形，分別寫出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)即可；

解答 解：（1）答：如y=x²，y=x²-x+1，y=x²+2x+4等；
（2）依題意得b²=ac，
∴△=b²-4ac=b²-4b²=-3b²，
∴當(dāng)b=0時(shí)，△=0，此時(shí)拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)b≠0時(shí)，△＜0，此時(shí)拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)；
（3）
①拋物線y=2x²-2x+2向下平移3個(gè)單位得到的新拋物線的解析式為y=2x²-2x-1，
②存在．


如圖：
若BQ=AO，過點(diǎn)Q作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，
P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，-1），（1，-1），
此時(shí)，△AOB≌△BQP；
若BQ=BO，過點(diǎn)Q作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，
令2x²-2x-1=$\frac{1}{2}$，
解得：x=-$\frac{1}{2}$或x=$\frac{3}{2}$，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
此時(shí)，△AOB≌△PQB；
綜上所述，有四個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：（0，-1），（1，-1），（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題是“新定義”題型，考查學(xué)生對新知識的迅速領(lǐng)悟能力，同時(shí)本題還考查了二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的決定因素、函數(shù)圖象的平移、全等三角形的判定與性質(zhì)、拋物線的對稱性等知識點(diǎn)，題目新穎，命題視角比較獨(dú)特，難度雖然不大，但卻是一道考查學(xué)生基本數(shù)學(xué)素質(zhì)的一道好題．對于最后一問，尋找全等三角形，首先要清楚哪些點(diǎn)是固定的，哪些點(diǎn)只能在某些位置，然后符合要求的點(diǎn)就很容易確定．