Question

11．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（4，1），且與y軸交于點(diǎn)C，連接AB、AC、BC．
（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）判斷△ABC的形狀；若△ABC的外接圓記為⊙M，請直接寫出圓心M的坐標(biāo)；
（3）若將拋物線沿射線BA方向平移，平移后點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的外接圓記為⊙M₁，是否存在某個位置，使⊙M₁經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出此時拋物線的關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出a，b的值進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出∠OAC=45°，進(jìn)而得出AD=BD，求出∠DAB=45°，即可得出答案；
（3）首先利用已知得出圓M平移的長度為：2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$或2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，進(jìn)而得出拋物線的平移規(guī)律，即可得出答案．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（3，0），B（4，1）代入y=ax²+bx+3中，
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{16a+4b+3=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
所以所求函數(shù)關(guān)系式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3；

（2）△ABC是直角三角形，
過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，
易知點(diǎn)C坐標(biāo)為：（0，3），所以O(shè)A=OC，
所以∠OAC=45°，
又∵點(diǎn)B坐標(biāo)為：（4，1），
∴AD=BD，
∴∠DAB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
圓心M的坐標(biāo)為：（2，2）；

（3）存在
取BC的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，
∵M(jìn)的坐標(biāo)為：（2，2），
∴MC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OM=2$\sqrt{2}$，
∴∠MOA=45°，
又∵∠BAD=45°，
∴OM∥AB，
∴要使拋物線沿射線BA方向平移，且使⊙M₁經(jīng)過原點(diǎn)，
則平移的長度為：2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$或2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$；
∵∠BAD=45°，
∴拋物線的頂點(diǎn)向左、向下均分別平移$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{4-\sqrt{10}}{2}$個單位長度
或$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{4+\sqrt{10}}{2}$個單位長度，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
∴平移后拋物線的關(guān)系式為：y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$+$\frac{4-\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{1}{8}$-$\frac{4-\sqrt{10}}{2}$，
即y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1+\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{17-4\sqrt{10}}{8}$，
或y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$+$\frac{4+\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{1}{8}$-$\frac{4+\sqrt{10}}{2}$，
即y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1-\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{17+4\sqrt{10}}{8}$．
綜上所述，存在一個位置，使⊙M₁經(jīng)過原點(diǎn)，此時拋物線的關(guān)系式為：
y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1+\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{17-4\sqrt{10}}{8}$或y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1-\sqrt{10}}{2}$）²-$\frac{17+4\sqrt{10}}{8}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)的平移、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，正確得出圓M的平移距離是解題關(guān)鍵．