Question

14．如圖，⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A（-3，0）、B（1，0），直徑CD⊥x軸于N，拋物線y=-x²-2x+m經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，
（1）求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若直線CE切⊙M于點(diǎn)C，G在直線CE上，已知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為3．求G的縱坐標(biāo)；
（3）對于（2）中的G，是否存在過點(diǎn)G的直線，使它與（1）中拋物線只有一個交點(diǎn)，請說明理由；
（4）對于（2）中的G，直線FG切⊙M于點(diǎn)F，求直線DF的解析式．

Answer 1

分析 （1）將A或B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)m的值，進(jìn)而可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)圓和拋物線的對稱性知，點(diǎn)D即為拋物線的頂點(diǎn)，由此得解．
（2）已知了點(diǎn)D的坐標(biāo)，需求出直線DF上另一點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)A、B、D的坐標(biāo)，可求得AN、BN、DN的長，根據(jù)相交弦定理知：DN•NC=AN•BN，由此可求得NC的長，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，易證得CG∥x軸，則可求得G的縱坐標(biāo)；
（3）假設(shè)存在過G的直線y=kx+b，由G（3，-1），可得3k+b=-1，即可求得b=-1-3k，的方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+3}\\{y=kx-1-3k}\end{array}\right.$，由與拋物線只有一個交點(diǎn)，可得判別式△=0，即可求得k的值；
（4）設(shè)直線DF與直線CE的交點(diǎn)為E，連接CF，根據(jù)圓周角定理可知△CFP是直角三角形，而CG、CF同為⊙M的切點(diǎn)，即CG=GF，所以點(diǎn)G即為斜邊CP的中點(diǎn)，由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)D、P的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求得直線DF的解析式．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²-2x+m過點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，
∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：-3×1=-m，
∴m=3，
∴拋物線為：y=-x²-2x+3，
又∵拋物線過點(diǎn)D，由圓的對稱性知點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）．

（2）由題意知AB=4，
∵CD⊥x軸，
∴NA=NB=2，
∴ON=1，
由相交弦定理得NA•NB=ND•NC，
∴NC×4=2×2，NC=1，
∴C的坐標(biāo)為（-1，-1），
∵直線CE切⊙M于點(diǎn)C，
∴CD⊥CG，
∴CG∥x軸，
∴G的縱坐標(biāo)為-1；

（3）存在．
假設(shè)存在過G的直線y=kx+b，
∵G（3，-1），
∴3k+b=-1，
∴b=-1-3k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+3}\\{y=kx-1-3k}\end{array}\right.$，
∴kx-1-3k=-x²-2x+3，
整理得：x²+（k+2）x-4-3k=0，
∴當(dāng)與拋物線只有一個交點(diǎn)時，△=（k+2）²-4（-4-3k）=0，
解得：k=-8±2$\sqrt{11}$，
另：過G點(diǎn)并與y軸平行的直線與拋物線也只有一個交點(diǎn)；
∴存在過點(diǎn)G的直線，使它與（1）中拋物線只有一個交點(diǎn)；

（4）設(shè)直線DF交CE于P，連接CF，得∠CFP=90°，
∵CG，F(xiàn)G為圓M的切線，
∴FG=GC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠FPC，
∴FG=GP，
∴GC=GP，
可得CP=8，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，-1）；
設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b（k≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{7k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{8}}\\{b=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$，
∴直線DF的解析式為y=-$\frac{5}{8}$x+$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圓和拋物線的對稱性、圓周角定理、相交弦定理、直角三角形的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、根的判別式等知識，涉及知識面較廣，難度較大．