Question

17．AB為⊙O的直徑，點O為圓心，點C為⊙O上一點，AB垂直于過點C的切線，垂足為點D、AB的延長線交直線CD于E，連接AC過點CF⊥AB垂足為點F
（1）求證：∠ECF=2∠DAC
（2）若AD與⊙O交于點M，延長CF交⊙O于點N，求證：BM=CN．

Answer 1

分析 （1）根據垂直的定義得到∠D=∠CFE=90°，根據相似三角形的性質得到∠FCE=∠DAE，根據切線的性質得到OC⊥DE，根據平行線的性質得到∠DAC=∠ACO，求得∠DAE=2∠DAC，等量代換得到結論；
（2）連接AN，根據垂徑定理得到$\widehat{CB}$=$\widehat{BN}$，根據弧、弦，圓心角的關系即可得到結論．

解答 （1）證明：∵AD⊥DE，CF⊥AB，
∴∠D=∠CFE=90°，
∵∠E=∠E，
∴△ADE∽△CFE，
∴∠FCE=∠DAE，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAE=2∠DAC，
∴∠ECF=2∠DAC；

（2）解：連接AN，
∵CF⊥AB，
∴$\widehat{CB}$=$\widehat{BN}$，
∵∠DAC=∠CAB，
∴$\widehat{CM}$=$\widehat{CB}$，
∴$\widehat{BM}$=$\widehat{CN}$，
∴BM=CN．

點評 本題考查了切線的性質，垂徑定理，平行線的判定和性質，等腰三角形的性質，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．