Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，點 P 從原點 O 出發(fā)，沿 x 軸向右以每秒1 個單位長的速度運動 t（t＞0）秒，拋物線 y=x²+bx+c 經(jīng)過點 O 和點 P．已知矩形 ABCD 的三個頂點為 A（1，0），B（1，-5），D（4，0）．
（1）求c，b（可用含 t 的代數(shù)式表示）；
（2）當 t＞1 時，拋物線與線段 AB 交于點 M．在點 P 的運動過程中，你認為∠AMP 的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出∠AMP 的值；
（3）在矩形ABCD 的內部（不含邊界），把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“好點”．若拋物線將這些“好點”分成數(shù)量相等的兩部分，請直接寫出 t 的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點O和點P，將點O與P的坐標代入方程即可求得c，b；
（2）當x=1時，y=1-t，求得M的坐標，則可求得∠AMP的度數(shù)；
（3）根據(jù)圖形，即可直接求得答案．

解答 解：（1）把x=0，y=0代入y=x²+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x²+bx，得t²+bt=0，
∵t＞0，
∴b=-t；

（2）不變．
∵拋物線的解析式為：y=x²-tx，且M的橫坐標為1，
∴當x=1時，y=1-t，
∴M（1，1-t），
∴AM=|1-t|=t-1，
∵OP=t，
∴AP=t-1，
∴AM=AP，
∵∠PAM=90°，
∴∠AMP=45°；
（3）$\frac{7}{2}$＜t＜$\frac{11}{3}$．
①左邊4個好點在拋物線上方，右邊4個好點在拋物線下方：無解；
②左邊3個好點在拋物線上方，右邊3個好點在拋物線下方：
則有-4＜y₂＜-3，-2＜y₃＜-1即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，$\frac{7}{2}$＜t＜4且$\frac{10}{3}$＜t＜$\frac{11}{3}$，解得$\frac{7}{2}$＜t＜$\frac{11}{3}$；
③左邊2個好點在拋物線上方，右邊2個好點在拋物線下方：無解；
④左邊1個好點在拋物線上方，右邊1個好點在拋物線下方：無解；
⑤左邊0個好點在拋物線上方，右邊0個好點在拋物線下方：無解；
綜上所述，t的取值范圍是：$\frac{7}{2}$＜t＜$\frac{11}{3}$．

點評 此題考查了二次函數(shù)與點的關系，以及三角形面積的求解方法等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數(shù)形結合與方程思想的應．．