Question

18．已知如圖，直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線y=3x交于點(diǎn)C，且|OA-6|+$\sqrt{OB-\frac{9}{2}}$=0，將直線y=kx+b沿直線y=3x折疊，與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求直線y=kx+b的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求△BCE的面積；
（3）若點(diǎn)P是直線y=3x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P、點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用非負(fù)性求出OA，OB，進(jìn)而得出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，再聯(lián)立直線OC的解析式即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)立直線MN和直線AB的解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用對(duì)稱求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線CE的解析式即可；
（3）分AC為矩形的邊和對(duì)角線，利用矩形的對(duì)角線互相平分且相等，借助中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決．

解答 解：（1）∵|OA-6|+$\sqrt{OB-\frac{9}{2}}$=0，
∴OA=6，OB=$\frac{9}{2}$，
∴A（-6，0），B（0，$\frac{9}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$①，
∵點(diǎn)C是直線AB與OC：y=3x②的交點(diǎn)，
聯(lián)立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴C（2，6）；

（2）如圖1，
過點(diǎn)O作直線MN⊥OC交直線AB于M，直線CE于N，
∵直線OC的解析式為y=3x，
∴直線MN的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x①，
∵直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$②，
聯(lián)立①②解得，x=-$\frac{54}{13}$，y=$\frac{18}{13}$，
∴M（-$\frac{54}{13}$，$\frac{18}{13}$），
由折疊知，M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴N（$\frac{54}{13}$，-$\frac{18}{13}$），
∵C（2，6），
∴直線CE的解析式為y=-$\frac{24}{7}$x+$\frac{90}{7}$，
∴E（0，$\frac{90}{7}$），
∴BE=$\frac{90}{7}$-$\frac{9}{2}$=$\frac{117}{14}$，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$BE×|x_C|=$\frac{1}{2}×\frac{117}{14}$×2=$\frac{117}{14}$；

（3）如圖2，
當(dāng)AC為矩形的邊時(shí)，AP⊥AC，
∵直線AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$，
∴直線AP的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-8①
∵點(diǎn)P在直線y=3x②上，
聯(lián)立①②解得，P（-$\frac{24}{13}$，-$\frac{72}{13}$），
∵C（2，6）
∴PC的中點(diǎn)M（$\frac{1}{13}$，$\frac{3}{13}$），
∵四邊形APQC是矩形，
∴M是AQ的中點(diǎn)，
∴Q（$\frac{80}{13}$，$\frac{6}{13}$）；

當(dāng)AC為矩形的對(duì)角線時(shí)，AP'⊥OC，
∵直線OC的解析式為y=3x，
∴直線AP'的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-2③，
∵點(diǎn)P'在直線OC上，
∴點(diǎn)P'的坐標(biāo)滿足y=3x④，聯(lián)立③④解得，P'（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{9}{5}$），
∵A（-6，0），C（2，6），
∴AC的中點(diǎn)坐標(biāo)M'（-2，3），
∵四邊形AP'CQ'是矩形，
∴M'是P'Q'的中點(diǎn)，
∴Q'（-$\frac{17}{5}$，$\frac{39}{5}$），
即：滿足條件的點(diǎn)P（-$\frac{24}{13}$，-$\frac{72}{13}$），Q（$\frac{80}{13}$，$\frac{6}{13}$）或P（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{9}{5}$），Q（-$\frac{17}{5}$，$\frac{39}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了非負(fù)性，待定系數(shù)法，三角形的面積公式，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求直線解析式，解（3）的關(guān)鍵是分類討論的思想思考問題．