Question

5．已知：OC是圓M的直徑，點(diǎn)D在半圓弧上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D與點(diǎn)O和C不重合），∠OCD的平分線與圓M交與點(diǎn)E，連接OE交CD的延長(zhǎng)線于B，點(diǎn)A在直徑OC上，且OA=OD．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)M重合；
（2）如圖2，作EF⊥CO于點(diǎn)F，猜想EF與圖中已有的那條線段的一半相等，并加以證明．
（3）如圖3，在上述條件下，過點(diǎn)E作CO的平行線交CB于點(diǎn)N，當(dāng)NA⊥OC時(shí)，求EF：OF的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出OA=OD，進(jìn)而得出△AOD是等邊三角形，即可得出結(jié)論；
（2）由垂徑定理得出EF=$\frac{1}{2}$EH，$\widehat{OH}=\widehat{OE}$，由角平分線得出，$\widehat{DE}=\widehat{OE}$，進(jìn)而得出$\widehat{OD}=\widehat{EH}$，即EH=OD，代換即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出△CEO≌△CEB得出NE是三角形OBC的中位線，在用三角函數(shù)得出sinβ=$\frac{EF}{OE}$，tanβ=$\frac{EF}{OF}$，EF=OE•sinβ=OC•cosβ•sinβ，借助（2）結(jié)論即可得出tanβ=$\frac{EF}{OF}$=$\frac{OC•cosβ•sinβ}{OA-AF}=\frac{OC•cosβ•sinβ}{2OC•cosβ•sinβ-\frac{1}{2}oc}=\frac{sinβ}{cosβ}$化簡(jiǎn)整理即可得出3cosβ=sinβ或cosβ=sinβ，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，

連接AD，
∵點(diǎn)A和點(diǎn)M重合，
∴OA=OM，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠OAD=∠OMD=60°，
∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到$\widehat{OD}$所對(duì)的圓心角是60°的位置；
（2）如圖2，

延長(zhǎng)EF交⊙M于H，連接OD，
∵OC⊥EH，
∴EF=$\frac{1}{2}$EH，$\widehat{OH}=\widehat{OE}$，
∵∠OCD的平分線與圓M交與點(diǎn)E，
∴∠BCE=∠OCE，
∴$\widehat{DE}=\widehat{OE}$，
∴$\widehat{OD}=\widehat{EH}$，
∴EH=OD，
∵OA=OD，
∴EF=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$OA，
（3）在⊙M中，OC為直徑，
∴∠CEO=90°，
在△CEO和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CEO=∠CEB=90°}\\{∠BCE=∠OCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CEO≌△CEB，
∴BE=OE，
∴E為OB的中點(diǎn)，
∵NE∥OC，
∴NE是△OBC的中位線，
∴NE-$\frac{1}{2}$OC，
∵四邊形ANEF是矩形，
∴NE=AF，AN=EF，
在Rt△EOF中，設(shè)∠EOF=β，
∴sinβ=$\frac{EF}{OE}$，tanβ=$\frac{EF}{OF}$，
在Rt△OCE中，OE=OC•cosβ，
∴EF=OE•sinβ=OC•cosβ•sinβ，
由（2）知，OA=OD=2EF，
∴tanβ=$\frac{EF}{OF}$=$\frac{OC•cosβ•sinβ}{OA-AF}=\frac{OC•cosβ•sinβ}{2OC•cosβ•sinβ-\frac{1}{2}oc}=\frac{sinβ}{cosβ}$
∴2cos²β=4cosβ•sinβ-1=4cosβ•sinβ-（sin²β+cos²β），
∴3cos²β-4cosβsinβ+sin²β=0，
∴（3cosβ-sinβ）（cosβ-sinβ）=0，
∴3cosβ=sinβ或cosβ=sinβ，
∴tanβ=3或tanβ=1，
即：$\frac{EF}{OF}=3或1$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了垂徑定理，圓的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的中位線，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵2cos²β=4cosβ•sinβ-1=4cosβ•sinβ-（sin²β+cos²β），也是解本題的難點(diǎn)，是一道難度比較大的中考題．