Question

20．如圖1，給定銳角三角形ABC，小明希望畫正方形DEFG，使D，E位于邊BC上，F(xiàn)，G分別位于邊AC，AB上，他發(fā)現(xiàn)直接畫圖比較困難，于是他先畫了一個正方形HIJK，使得點H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，而不需要求J必須位于AC上．這時他發(fā)現(xiàn)可以將正方形HIJK通過放大或縮小得到滿足要求的正方形DEFG．
閱讀以上材料，回答小明接下來研究的以下問題：
（1）如圖2，給定銳角三角形ABC，畫出所有長寬比為2：1的長方形DEFG，使D，E位于邊BC上，F(xiàn)，G分別位于邊AC，AB上．
（2）已知三角形ABC的面積為36，BC=12，在第（1）問的條件下，求長方形DEFG的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖2，先畫長方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，連結(jié)BJ并延長交AC于點F，再將長方形HIJK通過放大可得到滿足要求的長方形DEFG；如備用圖，先畫長方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，連結(jié)BJ并延長交AC于點F，再將長方形HIJK通過放大可得到滿足要求的長方形DEFG；
（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面積為36，求出AM=6．再設AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式$\frac{GF}{BC}$=$\frac{AN}{AM}$，由此求出x的值，進而求解即可．

解答 解：（1）如圖2與備用圖1，長方形DEFG即為所求作的圖形；


（2）在長方形DEFG中，如果DE=2DG，如備用圖2，作△ABC的高AM，交GF于N．
∵三角形ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$×12AM=36，
∴AM=6．
設AN=x，則MN=6-x，DG=MN=6-x，DE=GF=2（6-x）=12-2x．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{GF}{BC}$=$\frac{AN}{AM}$，
∴$\frac{12-2x}{12}$=$\frac{x}{6}$，
解得x=3，
∴DG=6-x=3，DE=2DG=6，
∴長方形DEFG的面積=6×3=18；
在長方形DEFG中，如果DG=2DE，同理求出x=$\frac{6}{5}$，
∴DG=6-x=$\frac{24}{5}$，DE=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{12}{5}$，
∴長方形DEFG的面積=$\frac{24}{5}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{288}{25}$．
故長方形DEFG的面積為18或$\frac{288}{25}$．

點評 本題考查了位似變換，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出符合要求的長方形DEFG是解題的關鍵．