Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C、E、P均在坐標(biāo)軸上，A（0，3）、B（-4，0）、P（0，-3），點(diǎn)C是線段OP（不包含O、P）上一動(dòng)點(diǎn)，AB∥CE，延長(zhǎng)CE到D，使CD=BA
（1）如圖，點(diǎn)M在線段AB上，連MD，∠MAO與∠MDC的平分線交于N．若∠BAO=α，∠BMD=130°，則∠AND的度數(shù)為$\frac{1}{2}$α+25°
（2）如圖，連BD交y軸于F．若OC=2OF，求點(diǎn)C的坐標(biāo)
（3）如圖，連BD交y軸于F，在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，$\frac{AO-OC}{OF}$的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）作NG∥AB．首先證明∠AND=∠ANG+∠DNG=$\frac{1}{2}$∠BAO+$\frac{1}{2}$∠MDC，由∠BAO=α，∠MDC=180°-∠BMD=180°-130°=50°，即可解決問(wèn)題．
（2）由AB∥CD，推出△AFB∽△CFD，推出$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AF}{FC}$，由AB=CD，推出AF=FC，由OC=2OF，設(shè)OF=a，則OC=2a，F(xiàn)C=AF=3a，OA=4a，推出4a=3，推出a=$\frac{3}{4}$，推出OC=2a=$\frac{3}{2}$，即可角問(wèn)題．
（3）由AF=FC，設(shè)OF=m，則AF=3-m，OC=3-m-m=3-2m，代入$\frac{AO-OC}{OF}$計(jì)算即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1中，作NG∥AB．

∵AB∥CD，NG∥AB，
∴AB∥NG∥CD，
∴∠ANG=∠BAN，∠DNG=∠NDC，
∵∠NAB=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠NDC=$\frac{1}{2}$∠MDC，
∴∠AND=∠ANG+∠DNG=$\frac{1}{2}$∠BAO+$\frac{1}{2}$∠MDC，
∵∠BAO=α，∠MDC=180°-∠BMD=180°-130°=50°，
∴∠AND=$\frac{1}{2}$α+25°，
故答案為$\frac{1}{2}$α+25°；

（2）如圖2中，

∵AB∥CD，
∴△AFB∽△CFD，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AF}{FC}$，∵AB=CD，
∴AF=FC，
∵OC=2OF，設(shè)OF=a，則OC=2a，F(xiàn)C=AF=3a，OA=4a，
∴4a=3，
∴a=$\frac{3}{4}$，
∴OC=2a=$\frac{3}{2}$，
∴C（0，-$\frac{3}{2}$）；

（3）結(jié)論：$\frac{AO-OC}{OF}$的值不變．理由如下：
如圖2中，∵AB∥CD，
∴△AFB∽△CFD，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AF}{FC}$，∵AB=CD，
∴AF=FC，設(shè)OF=m，則AF=3-m，OC=3-m-m=3-2m，
∴$\frac{AO-OC}{OF}$=$\frac{3-（3-2m）}{m}$=$\frac{2m}{m}$=2，
∴$\frac{AO-OC}{OF}$的值不變．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．