Question

13．如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結(jié)論：①∠DAF=15°，②AC垂直平分EF，③BE+DF=EF，④AF=$\sqrt{2}$EC
．其中正確結(jié)論有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形、正方形的性質(zhì)，即可得到∠DAF=15°；根據(jù)CE=CF，AE=AF，即可得出AC垂直平分EF；設(shè)EG=GF=CG=1，根據(jù)BE+DF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，EF=2，即可得到BE+DF≠EF；根據(jù)等腰Rt△CEF中，EF=$\sqrt{2}$CE，且△AEF是等邊三角形，可得AF=$\sqrt{2}$EC．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE=∠DAF，BE=DF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°，故①正確．

∵BC=CD，BE=DF，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，故②正確．

設(shè)EG=GF=CG=1，則CE=$\sqrt{2}$，AG=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{3}$+1，
∴Rt△ABC中，BC=$\frac{AC}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴BE=BC-CE=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
∴BE+DF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
又∵EF=2，
∴BE+DF≠EF，故③錯誤；

∵等腰Rt△CEF中，EF=$\sqrt{2}$CE，且△AEF是等邊三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$EC，故④正確；
故選：C．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，等邊三角形和正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，證得Rt△ABE≌Rt△ADF是解題的關(guān)鍵．