Question

6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ABD=45°，在AD上取一點(diǎn)E，連接BE，使得BE=AC，連接CE，將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)CF的位置，連接BF．已知∠CAD=∠BCF．
（1）試判斷DE與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；
（3）若BC=7，DE=2，求線段CA旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)HL證明Rt△BDE≌Rt△ADC可得結(jié)論；
（2）證明BE=CF和BE∥CF，由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；
（3）由圖形可知：線段CA旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積是以AC為半徑，圓心角為90度的扇形的面積，求出AC的長，代入公式即可．

解答 解：（1）DE=CD；
理由是：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE=AC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴DE=CD；
（2）由旋轉(zhuǎn)得：AC=CF，
∵BE=AC，
∴BE=CF，
由（1）得Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠DBE=∠DAC，
∵∠DAC=∠BCF，
∴∠DBE=∠BCF，
∴BE∥FC，
∴四邊形BFCE是平行四邊形；
（3）由（1）得DE=DC=2，
∵BC=7，
∴AD=BD=7-2=5，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴S=$\frac{90π×（\sqrt{29}）^{2}}{360}$=$\frac{29}{4}$π，
則線段CA旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為$\frac{29}{4}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，難度適中，考查了直角三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、扇形面積公式、平行四邊形的性質(zhì)和判定，熟練掌握直角三角形全等和平行四邊形的判定是關(guān)鍵．