Question

15．如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線交于O點(diǎn)．
（1）若∠A=40°，則∠BOC=110°；
（2）若∠A=n°，則∠BOC=90+$\frac{n}{2}$°；
（3）若∠A=n°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于O點(diǎn)，∠ABO的平分線與∠ACO的平分線交于點(diǎn)O₁，…，∠ABO₂₀₁₆的平分線與∠ACO₂₀₁₆的平分線交于點(diǎn)O₂₀₁₇，則∠O₂₀₁₇=$\frac{1}{{2}^{2018}}$×180°+$\frac{{2}^{2018}-1}{{2}^{2018}}$n°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數(shù)故可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)BO、CO分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，用n°的代數(shù)式表示出∠OBC與∠OCB的和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)；
（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∵點(diǎn)O是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，
∴∠OBC+∠OCB=70°，
∴∠BOC=110°．
故答案為：110°；

（2）∵∠A=n°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-n°，
∵BO、CO分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB
=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=$\frac{1}{2}$（180°-n°）
=90°-$\frac{1}{2}$n°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+$\frac{1}{2}$n°．
故答案為：90°+$\frac{1}{2}$n°；

（3）由（2）得∠O=90°+$\frac{1}{2}$n°，
∵∠ABO的平分線與∠ACO的平分線交于點(diǎn)O₁，
∴∠O₁BC=$\frac{3}{4}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{3}{4}$∠ACB，
∴∠O₁=180°-$\frac{3}{4}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{3}{4}$（180°-∠A）=$\frac{1}{4}$×180°+$\frac{3}{4}$n°，
同理，∠O₂=$\frac{1}{8}$×180°+$\frac{7}{8}$n°，
∴∠O_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$×180°+$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n+1}}$n°，
∴∠O₂₀₁₇=$\frac{1}{{2}^{2018}}$×180°+$\frac{{2}^{2018}-1}{{2}^{2018}}$n°，
故答案為：$\frac{1}{{2}^{2018}}$×180°+$\frac{{2}^{2018}-1}{{2}^{2018}}$n°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°．