Question

3．菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，點(diǎn)E在BC上，CE=2$\sqrt{3}$，若點(diǎn)P是菱形上異于點(diǎn)E的另一點(diǎn)，CE=CP，則EP的長為6或2$\sqrt{6}$或2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 連接EP交AC與點(diǎn)H，依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到∠ECH=∠PCH=60°，然后依據(jù)SAS可證明△ECH≌△PCH，則∠EHC=∠PHC=90°，最后依據(jù)PE=EH=2sin60°•EC求解即可．

解答 解：如圖所示：連接EP交AC與點(diǎn)H．

∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴∠BCD=120°，∠ECH=∠PCH=60°．
在△ECH和△PCH中$\left\{\begin{array}{l}{EC=PC}\\{∠ECH=∠PCH}\\{CH=CH}\end{array}\right.$，
∴△ECH≌△PCH．
∴∠EHC=∠PHC=90°，EH=PH．
∴EP=2EH=2sin60°•EC=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=6．
如圖2所示：△ECP為等腰直角三角形，則EP=$\sqrt{2}$EC=2$\sqrt{6}$．

過點(diǎn)P′作P′F⊥BC．
∵P′C=2$\sqrt{3}$，BC=4，∠B=60°，
∴P′C⊥AB．
∴∠BCP′=30°．
∴FC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=3，P′F=$\sqrt{3}$，EF=2$\sqrt{3}$-3．
∴EP′=$\sqrt{（2\sqrt{3}-3）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$．
故答案為：6或2$\sqrt{6}$或2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．