Question

16．已知：一次函數(shù)y=-$\frac{4}{3}$x+4的函數(shù)與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求線段AB的長(zhǎng)度；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\frac{4}{3}$x+4中分別令y=0、x=0，可求出A、B坐標(biāo)；
（2）由（1）可求得OA、OB，在Rt△AOB中由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)度；
（3）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），可表示出BC、AC的長(zhǎng)度，分AC=BC、AC=AB、BC=AB，可分別求出x的值，可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）在y=-$\frac{4}{3}$x+4中，令y=0可求得x=3，令x=0可求得y=4，
∴A（3，0），B（0，4）；
（2）由A（3，0），B（0，4）可得OA=3，OB=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
即AB的長(zhǎng)度為5；
（3）假設(shè)存在滿足條件的C點(diǎn)，其坐標(biāo)為（x，0），
則AC=|x-3|，BC=$\sqrt{{x}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
若△ABC為等腰三角形時(shí)，則有AC=BC、AC=AB或BC=AB，
①當(dāng)AC=BC時(shí)，則有|x-3|=$\sqrt{{x}^{2}+16}$，解得x=-$\frac{7}{6}$，此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{7}{6}$，0），
②當(dāng)AC=AB時(shí)，則有|x-3|=5，解得x=8或x=-2，此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0）或（-2，0），
③當(dāng)BC=AB時(shí)，則有$\sqrt{{x}^{2}+16}$=5，解得x=3或-3，當(dāng)x=3時(shí)，A、C重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，故此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
綜上可知存在滿足條件的C點(diǎn)，其坐標(biāo)為（-$\frac{7}{6}$，0）或（8，0）或（-2，0）或（-3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等．求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解決（1）、（2）的關(guān)鍵，在（3）中注意分三種情況討論．本題主要考查基礎(chǔ)性知識(shí)，難度不大．