Question

15．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（k-3）x-k²=0．
（1）求證：無(wú)論k取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若x₁，x₂是原方程的兩根，且（x₁-x₂）²=8，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△=（k-3）²+4k²，且（k-3）²、k²非負(fù)且不同時(shí)為0即可得出△＞0，此題得證；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=k-3，x₁•x₂=-k²，再結(jié)合（x₁-x₂）²=8，即可得出關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△=[-（k-3）]²-4×1×（-k²）=（k-3）²+4k²，
∵（k-3）²≥，4k²≥0，且兩者不能同時(shí)為0，
∴△＞0，
故無(wú)論k取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）∵x₁+x₂=k-3，x₁•x₂=-k²，
∴（x₁-x₂）²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁•x₂=（k-3）²+4k²=8，即5k²-6k+1=0，
解得：k=1或k=$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）找出△=（k-3）²+4k²＞0（2）找出關(guān)于k的一元二次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)方程的系數(shù)找出兩根之和與兩根之積是關(guān)鍵．