Question

4．已知：如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個(gè)結(jié)論：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是①②③．

Answer 1

分析 ①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結(jié)論；
②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出結(jié)論；
③由條件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出結(jié)論；
④根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，即可解答．

解答 解：①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE．故①正確；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°．
∴BD⊥CE；故②正確；
③∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正確；
④在△ABE中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可得BE＞AB+AE，
∵AD=AE，
∴BE＞AB+AD，
即BE＞AC+AD
故④錯誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，垂直的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，能利用全等三角形的性質(zhì)和判定求解是解此題的關(guān)鍵．