Question

14．如圖，⊙O的半徑為2$\sqrt{3}$，OA，OB是⊙O的半徑，點(diǎn)P是$\widehat{AB}$上任意一點(diǎn)，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，則EF的最大值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延長PE、PF分別交圓于G、H，根據(jù)垂徑定理得到PE=EG，PF=FH，得到EF=$\frac{1}{2}$GH，根據(jù)圓的最長的弦是直徑解答即可．

解答 解：延長PE、PF分別交圓于G、H，
∵PE⊥OA、PF⊥OB，
∴PE=EG，PF=FH
∴EF是△PGH的中位線
∴EF=$\frac{1}{2}$GH
∵GH是⊙O的弦
∴GH的最大值為2OA=2$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$，
∴EF的最大值為$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查的是垂徑定理、三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．