Question

4．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的邊EF與BC重合，點G、H分別在AC、AB上運動．
（1）當(dāng)矩形EFGH面積最大時，求EF：GF的值；
（2）把圖形以BC所在直線為對稱軸作對稱圖形，點A，H，K，G的對應(yīng)點分別為A′，H′，K′，G′．
①若矩形H H′G′G為正方形時，求三角形AHG的面積；
②當(dāng)AB=AC時，設(shè)GF為x（3≤x≤5），三角形AHG的面積記為S₁，三角形GG′C的面積記為S₂，若令y=$\frac{{s}_{1}}{{s}_{2}}$+2，求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)FG的長為x，則AK的長為（8-x），然后可列出比例式：$\frac{AK}{AD}=\frac{GH}{CB}$，
（2）①由軸對稱圖形的性質(zhì)可知：FG=FG′，因為四邊形H H′G′G為正方形，所以GH=GG′=2GF．設(shè)FG=x，則HG=2x．由（1）可知：$\frac{AK}{AD}=\frac{GH}{CB}$，從而可求得：GF=$\frac{24}{7}$，GH=$\frac{48}{7}$，AK=$\frac{32}{7}$，然后利用三角形的面積公式求解即可；
②設(shè)FG的長為x，則AK的長為（8-x），先求得△AHG的面積和△GCG′的面積，從而可得到y(tǒng)=$（\frac{8}{x}-1）^{2}+2$，然后根據(jù)x的取值范圍是3≤x≤5求得y的最大值即可．

解答 解：（1）設(shè)FG的長為x，則AK的長為（8-x），
∵四邊形EFGH為矩形，
∴HG∥BC．
∴$\frac{AK}{AD}=\frac{GH}{CB}$，即：$\frac{8-x}{8}=\frac{GH}{12}$．
∴GH=$\frac{3}{2}（8-x）$．
矩形EFGH面積=GH•GF=$\frac{3}{2}（8-x）x$=-$\frac{3}{2}{x}^{2}+12x$=-$\frac{3}{2}（x-4）^{2}+24$，
∴當(dāng)x=4時，矩形的面積有最大值．
∴GF=4，EF=GH=6．
∴EF：GF=3：2．
（2）①如圖1所示：

由軸對稱圖形的性質(zhì)可知：FG=FG′，
∵四邊形H H′G′G為正方形，
∴GH=GG′=2GF．
設(shè)FG=x，則HG=2x.$\frac{8-x}{8}=\frac{2x}{12}$由（1）可知：$\frac{AK}{AD}=\frac{GH}{CB}$即：$\frac{8-x}{8}=\frac{2x}{12}$
解得：x=$\frac{24}{7}$，
∴GF=$\frac{24}{7}$，GH=$\frac{48}{7}$，AK=$\frac{32}{7}$．
△AHG的面積=$\frac{1}{2}GH•AK=\frac{1}{2}×\frac{48}{7}×\frac{32}{7}$=$\frac{768}{49}$．
②如圖2：

設(shè)FG的長為x，則AK的長為（8-x），
由（1）可知：GH=$\frac{3}{2}（8-x）$．
∴△AHG的面積=$\frac{1}{2}GH•AK$=$\frac{3}{2}（8-x）^{2}$，
FC=$\frac{1}{2}$（BC-FE）=$\frac{1}{2}（BC-GH）$=$\frac{1}{2}[12-\frac{3}{2}（8-x）]$=$\frac{3}{4}x$
∴△GCG′的面積=$\frac{1}{2}GG′•FC$=$\frac{1}{2}×2x×\frac{3}{2}x$=$\frac{3}{4}{x}^{2}$．
∵y=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}+2$，
∴y=$\frac{\frac{3}{2}（8-x）^{2}}{\frac{3}{4}{x}^{2}}+2$=$\frac{2×（8-x）^{2}}{{x}^{2}}$=2$（\frac{8}{x}-1）^{2}+2$．
∵3≤x≤5，
∴當(dāng)x=3時，y有最大值，
∴y的最大值=2×$（\frac{8}{3}-1）^{2}+2$=$\frac{68}{9}$．

點評 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、矩形、正方形、等腰三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)求得求得相關(guān)線段的長度（用含x的式子表示）是解題的關(guān)鍵．