Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象經(jīng)過點（2，2）．
（1）分別求這兩個函數(shù)的表達式；
（2）將直線OA向上平移3個單位長度后與y軸交于B，與反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點為C，連接AB，AC，求點C的坐標及△ABC的面積；
（3）反比例函數(shù)圖象上是否存在點D，使DC⊥BC？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A（2，2）代入正比例函數(shù)中即可求出k的值，再將A（2，2）代入反比例函數(shù)中即可求出m的值．
（2）由題意可知點B的坐標為（0，3），所以直線BC的解析式為y=x+3，聯(lián)立直線BC的解析式與反比例函數(shù)的解析式即可求出C的坐標，連接OC，由于OA∥BC，所以△ABC的面積等于△BOC的面積．
（3）設(shè)D（m，$\frac{4}{m}$），由于DC⊥BC，所以k_DC•k_BC=-1，從而列出方程求出m的值．

解答 解：（1）將A（2，2）代入y=kx，
∴2k=2，
∴k=1，
∴正比例函數(shù)的解析式為：y=x
將A（2，2）代入y=$\frac{m}{x}$，
∴m=2×2=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{4}{x}$；

（2）∵直線BC由直線OA向上平移3個單位所得，
∴B（0，3）
∴直線BC的解析式為：y=x+3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∵點C在第一象限，
∴點C的坐標為（1，4）
∵OA∥BC，
∴S_△ABC=S_△BOC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，

（3）設(shè)D（m，$\frac{4}{m}$）
∵DC⊥BC，
∴k_DC•k_BC=-1，
∵k_DC=$\frac{\frac{4}{m}-4}{m-1}$=$\frac{-4}{m}$，
∴$\frac{-4}{m}$×1=-1，
∴m=4，
∴D（4，1）

點評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)待定系數(shù)法求出兩圖象的解析式，本題屬于基中等題型．