Question

1．已知二次函數(shù)y=a（x-m）²-a（x-m）（其中a，m為常數(shù)，且a＞0）．請把y=a（x-m）²-a（x-m）直接化為y=a（x-x₁）（x-x₂）的形式，并說明該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點．

Answer 1

分析 提取公因數(shù)a（x-m），即可將y=a（x-m）²-a（x-m）變形為y=a（x-m）（x-m-1），令y=0，即可求出方程a（x-m）²-a（x-m）=0的兩個根為x₁=m、x₁=m+1，由m≠m+1，即可得出方程a（x-m）²-a（x-m）=0有兩個不相等的實數(shù)根，進而即可得出二次函數(shù)y=a（x-m）²-a（x-m）的圖象與x軸總有兩個公共點．

解答 解：y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）．
令y=0，則有a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，
解得：x₁=m，x₂=m+1．
∵m≠m+1，
∴方程a（x-m）²-a（x-m）=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴二次函數(shù)y=a（x-m）²-a（x-m）的圖象與x軸總有兩個公共點．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)的三種形式，將二次函數(shù)的解析式由一般式變形為交點式是解題的關(guān)鍵．