Question

11．如圖，已知直線y=$\frac{1}{2}$x與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．
（1）求k的值；
（2）若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫出：當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．

Answer 1

分析 （1）將x=4代入一次函數(shù)解析式求出y的值，確定出A的坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）將C縱坐標(biāo)代入反比例解析式求出橫坐標(biāo)，確定出C坐標(biāo)，即CD與OD的長，三角形AOC面積=三角形COD面積+梯形AEDC面積-三角形AOE面積，求出即可；
（3）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＜-4或0＜x＜4時(shí)，反比例函數(shù)的圖象都在一次函數(shù)的圖象上方．

解答 解：（1）將x=4代入y=$\frac{1}{2}$x，得y=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），
∴2=$\frac{k}{4}$，得k=8，
即k的值是8；
（2）由（1）知，k=8，
∴y=$\frac{8}{x}$，
將y=8，代入y=$\frac{8}{x}$，得x=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，8），
∴OD=1，CD=8，
∵A（4，2），
∴OE=4，AE=2，
∵S_△AOC=S_△COD+S_梯形AEDC-S_△AOE=$\frac{1}{2}$×1×8+$\frac{1}{2}$×（2+8）×3-$\frac{1}{2}$×4×2=15；
（3）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是（-4，-2），
由函數(shù)的圖象知，當(dāng)x＜-4或0＜x＜4時(shí)，
反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．

點(diǎn)評 此題考查了反比例綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形、梯形的面積，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，比較函數(shù)值大小，以及待定系數(shù)法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．