Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B在直線y=2x上，過點B作x軸的垂線，垂足為A，OA=5，拋物線y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c過點O、A兩點．
（1）拋物線的解析式為y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x；
（2）點C是拋物線上的一點，且BC=10，連接AC交OB于點D，以BC為直徑的⊙O₁經(jīng)過點D，連接DC，求證：OC是的⊙O₁切線；
（3）設(shè)點P是OB上的一個動點，是否存在一點P，使△PCD與△ABD相似，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把O、A兩點的坐標(biāo)代入拋物線y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；
（2）連結(jié)OC，根據(jù)SAS證明△BCO≌△BAO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BCO=∠BAO=90°，再根據(jù)切線的判定即可求解；
（3）存在．過點C作CE⊥x軸于點E，則△ACE∽△BOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可求CE=4，進一步得到點C（-3，4）；再分兩種情況：①如圖1，過點C作CP₁∥OA交直線y=2x于點P₁，則△P₁CD∽△ABD；②過點C作CP₂∥BA交直線y=2x于點P₂，則△P₁CD∽△ABD；③點P和點B和點O重合；進行討論可求點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把O、A兩點的坐標(biāo)代入拋物線y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c，可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=c}\\{\frac{1}{6}×{5}^{2}+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{5}{6}}\\{c=0}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x；
（2）證明：如圖1，連結(jié)OC，

∵點B在直線y=2x上，
∴點B（5，10），
∴AB=BC=10，
∵BC為直徑的⊙O₁經(jīng)過點D，
∴∠BDC=90°，即BD⊥AC，
∴∠CBD=∠ABD，
在△BCO與△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠CBD=∠ABD}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△BAO，
∴∠BCO=∠BAO=90°，
∴OC是的⊙O₁切線；
（3）存在．如圖2，過點C作CE⊥x軸于點E，則△ACE∽△BOA，

∴$\frac{CE}{OA}$=$\frac{AC}{BO}$，
∵AC=2CD=2$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴CE=4，
∵點C在拋物線上，
∴點C（-3，4）；
①如圖3，過點C作CP₁∥OA交直線y=2x于點P₁，則△P₁CD∽△ABD，

∵點C（-3，4），
∴當(dāng)y=4時，4=2x，解得x=2，
∴P₁（2，4）；
②如圖4，過點C作CP₂∥BA交直線y=2x于點P₂，則△P₂CD∽△ABD，

∵點C（-3，4），
∴當(dāng)x=-3時，y=2×（-3）=-6，
∴P₂（-3，-6）．
③點P和點B和點O重合，則P₃（5，10），P₄（0，0）．
故答案為：y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x．

點評 本題著重考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，能力要求極高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．