Question

16．如圖，拋物線y=x²+x-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求點A，點B和點C的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上有一動點P，求PB+PC的值最小時的點P的坐標；
（3）若點M是直線AC下方拋物線上一動點，求四邊形ABCM面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P．求出直線AC的解析式即可解決問題．
（3）過點M作MN丄x軸與點N，設點M（x，x²+x-2），則AN=x+2，0N=-x，0B=1，0C=2，MN=-（x²+x-2）=-x²-x+2，根據(jù)S _{四邊形ABCM}=S_△AOM+S_△OCM+S_△BOC構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質即可解決問題．

解答 解：（1）由 y=0，得 x²+x-2=0 解得 x=-2 x=l，
∴A（-2，0），B（l，0），
由 x=0，得 y=-2，
∴C（0，-2）．

（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P．

設直線 AC 為 y=kx+b，則-2k+b=0，b=-2：得 k=-l，y=-x-2．
對稱軸為 x=-$\frac{1}{2}$，當 x=-$\frac{1}{2}$時，y=^_（-$\frac{1}{2}$）-2=-$\frac{3}{2}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

（3）過點M作MN丄x軸與點N，

設點M（x，x²+x-2），則AN=x+2，0N=-x，0B=1，0C=2，MN=-（x²+x-2）=-x²-x+2，
S _{四邊形ABCM}=S_△AOM+S_△OCM+S_△BOC=$\frac{1}{2}$（x+2）（-x²-x+2）+$\frac{1}{2}$（2-x²-x+2）（-x）+$\frac{1}{2}$×1×2
=-x²-2x+3
=-（x+1）²+4．
∵-1＜0，
∴當x=^_l時，S_{四邊形ABCM}的最大值為4．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、兩點之間線段最短、最值問題等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用對稱解決在性質問題，學會構建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考�？碱}型．